Блог

Кулата на Ханой

Уморени ли сте от упражнения и домашни по математика? Знаете ли, че има по-креативни начини за упражняване на математическите умения? Много игри, пъзели и загадки се въртят около математически понятия. Помислете за прости игри като морски шах, по-стратегически игри като шах или математически пъзели като судоку. Хората играят тези игри и пъзели от векове! Те са забавни и много полезни. Вижте дали ще ви хареса тази!

Още от далечни времена математиката е изпълнявала много практически нужди като измерване на земя, изучаване на астрономия и изчисляване на данъци. Но математиката може да се използва и за забавление – математически игри, загадки, предизвикателства и пъзели също се преплитат в историята!

Кулата на Ханой (наричана още Кулата на Брахма или кулата на Лукас) е изобретена от френски математик Едуард Лукас през 19 век. Тя е свързана с легенда за хиндуистки храм, където пъзелът е бил използван за увеличаване на умствената дисциплина на младите свещеници. Според легендата на младите свещеници са давани 64 златни диска, подредени на един от трите шиша. Всеки диск лежи на малко по-голям диск.

Целта на свещениците е била да подредят дисковете на друг шиш, като преместват дисковете по един, на друг шиш с правилото, че по-голям диск не трябва да бъде поставен върху по-малък диск. Използвайки математика, можете да изчислите, че дори ако свещениците са намерили най-ефикасния начин за решаване на проблема и са местели дисковете със скорост от един в секунда, ще са необходими почти 585 милиарда години, за да завършат работата. Това е повече от 40 пъти възрастта на Вселената!

Може би се чудите как математиката участва в тази игра. Когато играете играта с все повече дискове, ще забележите, че започвате да търсите модели. Ако се опитате да обясните как решавате пъзела, може да осъзнаете, че използвате един от следните математически понятия:

  • Итеративни решения, при които една и съща последователност от инструкции се повтаря отново и отново.
  • Рекурсивни решения, в които използвате информация от една стъпка, за да намерите следващата стъпка.
  • Шаблони и превеждането им в математически формули. Тези условия може да изглеждат трудни за разбиране. Не се притеснявайте! Играйте играта и може да осъзнаете, че сами разработвате тези “решения”.

Материали

Пет диска с различен размер, като копчета, капачки на бутилки, капаци на кутии и т.н. (Най-големият диск трябва да има диаметър не по-голям от 10 cm).

Картон – около 10 cm на 30 cm

Маркер

Линия

Подготовка

Начертайте две прави линии, за да разделите картона на три равни квадрата (по 10 на 10 cm).

Игра

Започнете играта с двата си малки диска. Сложете ги на най-левия квадрат на вашия картон, с по-малкия диск на върха на по-големия диск.

Началната позиция на играта е кула на най-левия квадрат на дъската (като кулата с два диска). Целта на играта е да преместите кулата на най-десния квадрат на дъската, като спазвате следните правила:

– Можете да премествате само по един диск наведнъж.

– Можете да премествате само най-горния диск от всеки квадрат.

– Дисковете могат да се поставят на празен квадрат на дъската или на по-голям диск, но дисковете не могат да се поставят един до друг върху по-голям диск.

  • Ако погледнете правилата, виждате ли, че не е позволено да поставите диск извън дъската? Къде се посочва, че не можете да стартирате две кули на един квадрат?
  • Опитайте играта с кулата с два диска. Можете ли да преместите кулата на най-десния квадрат, следвайки горните правила? От колко хода имате нужда? Ако се объркате или не можете да завършите играта, помолете приятел да ви помогне.
  • Повторете играта с двудисковата кула. Смятате ли, че можете да намерите най-доброто решение с възможно най-малък брой движения?
  • След като овладеете двудисковата кула, опитайте с три диска. Сложете три диска (от най-големия до най-малкия) на най-левия квадрат и започнете отначало. Колко хода ви бяха нужни този път?
  • Опитайте отново с три диска. Можете ли да завършите играта с по-малко ходове? Смятате ли, че можете да завършите играта с възможно най-малък брой ходове?
  • Сега опитайте с четири диска. Можете ли да намерите начин да го направите с възможно най-малко движения? Дали всичко, което сте научили, докато разрешавате тридисковата кула, ви помага да разрешите проблема с четири диска?
  • Предизвикайте себе си и опитайте кула с пет диска. Ако сте имали стратегия, можете ли да я разширите до кулата с пет диска?
  • Ако все още не сте имали стратегия, не се отказвайте! Вижте дали можете да намерите модел сега. Можете ли да намерите най-малкия брой ходове, необходими за завършване на играта с пет диска? Колко още хода ще ви трябват в сравнение с четиридисковия? Колко още хода са необходими за преместването на кулата с четири диска в сравнение с тридисковата?
  • Допълнително: Има много варианти на играта Кула на Ханой. Например, можете да подредите квадратите в кръг и да позволите на дисковете да се движат по посока на часовниковата стрелка. Потърсете някои други варианти на играта. Как новите правила променят решенията, които можете да намерите? Можете ли да пишете алгоритми за решаване на модифицираните версии?

Наблюдения и резултати

Успяхте ли да преместите двата диска в три хода? Три е минималният брой движения, необходими за преместването на тази кула. Може би сте открили и в игрите три диска, които могат да бъдат завършени в седем хода, четири диска в 15 и пет диска в 31.

За да играете двудисковата игра само с три хода, поставете малкия диск на средния квадрат, по-големият на най-десния квадрат и завършете, като поставите по-малкия диск на по-голямото. Един от начините да играете тридискната игра е да преместите най-горния двудисков стак в средния квадрат. Това е лека вариация на двудисковата игра и може да се направи в три хода.След това преместете най-големия диск от най-левия до най-десния квадрат (един ход). След това преместете двудисковия стак, който вече е в средния квадрат отгоре на най-големия диск. Отново лека вариация на двудисковата игра, която може да се направи с три хода.

Това дава 3 + 1 + 3 или седем хода. Подобен подход помага да се играе играта с четири диска. Първо преместете най-горния тридисков стак в средния квадрат, използвайки седем хода.След това преместете най-големия диск от най-левия до най-десния квадрат (един ход). Сега преместете тридисковата пирамида, която е в средния квадрат отгоре на най-големия диск (седем хода). Това дава точно 7 + 1 + 7 или 15 хода. Математиците наричат това рекурсивна процедура. За да решите пъзела с повече дискове, започнете с решението за по-малък брой дискове.

Има и други начини да играете играта. Има модел, използван за стартиране на играта, когато се играе с минимален брой ходове: най-малкият диск отива до най-десния квадрат, когато се играе с четен брой дискове и към средния квадрат, когато се играе с нечетен брой дискове. Може би сте забелязали също, че  движите периодично най-малкия и следващия най-малък диск, докато играете играта. Ако обърнете повече внимание, можете да забележите, че повтаряте същия набор от инструкции отново и отново, докато кулата се появи от другата страна на дъската. Математиците наричат това итеративно решение.

 


Споделете с приятели, ако тази статия Ви е харесала!